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2012全國各地中考數學解析匯編--第29章 銳角三角函數及解直角三角形A(已排版)

(最新最全)2012 年全國各地中考數學解析匯編(按章節考點整理) 第二十九章銳角三角函數及解直角三角形
29.1 銳角三角函數以及特殊角 (2011 江蘇省無錫市,2,3′)sin45°的值是( A.
1 2

) D.1

B.
2 2

2 2

C.

3 2

【解析】sin45°=

【答案】B 【點評】本題主要考查常見銳角三角函數值。需要學生記憶,這是對基礎知識的考查,屬于 容易題。 (2012 四川內江,11,3 分)如圖 4 所示,△ABC 的頂點是正方形網格的格點,則 sinA 的 值為 A.
1 2

B.

5 5

C.

10 10

D.

2 5 5

【解析】欲求 sinA,需先尋找∠A 所在的直角三角形,而圖形中∠A 所在的△ABC 并不是直 角三角形,所以需要作高.觀察格點圖形發現連接 CD(如下圖所示) ,恰好可證得 CD⊥AB, 于是有 sinA=
CD AC



2 10



5 5



A D B C

圖4 【答案】B 【點評】 在斜三角形中求三角函數值時往往需要作高構造直角三角形, 將這類問題以格點圖 形為背景展現時,要注意利用格點之間連線的特殊位置靈活構造.解決這類問題,一要注意 構造出直角三角形,二要熟練掌握三角函數的定義. 29.2 三角函數的有關計算 (2012 福州,9,4 分, )如圖,從熱氣球 C 處測得地面 A、B 兩點的俯角分別為 30°、45°, 如果此時熱氣球 C 處的高度 CD 為 100 米, A、 B 在同一直線上, AB 兩點的距離是 點 D、 則 ( ) A.200 米 B. 2 0 0 3 米 C. 2 2 0 3 米 D. 1 0 0 ( 3 ? 1) 米

解析:由題意,∠A=30°,∠B=45°,則 tan A ? AB=AD+DB= 答案:D
CD tan A ? CD tan B ? 100 tan 3 0
0

CD AD

, tan B ?

CD DB

,又 CD=100,因此

?

100 tan 4 5
0

? 100 3 ? 100 。

點評:本題考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函數值,考察了用三角函數模型解決實 際問題的能力,難度中等。 2 0 ( 2012 年浙江省寧波市,8,3)如圖,Rt△ABC,∠C=90 ,AB=6,cosB= ,則 BC 的長為 A 3

C 8 題圖

B

12 13 13 BC 2 【解析】由三角函數余弦的定義 cosB= = ,又∵AB=6∴BC=4,故選 A AB 3 【答案】A 【點評】本題考查三角函數的定義,比較容易. (A)4 (B)2 5 (C) 13 (D) (2012 福州,15,4 分)如圖,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分線 BD 交 AC 于點 D,則 AD 的長是 ,cosA 的值是 .(結果保留根號)

18

13

解析:由已知條件,可知△BDC、△ADB 是等腰三角形,且 DA=DB=BC,可證△BDC∽△ABC, 則有
x1 ?
BC AC ? DC BC

,設 BC=x,則 DC=1-x,因此
? 5 ?1 2

x 1

?

1? x x

, 即 x ? x ? 1 ? 0 ,解方程得,
2

5 ?1 2

, x2 ?

(不合題意,舍去),即 AD=
5 ?1 4

5 ?1 2

;

AB

又 cosA= 2 ?
AD
5 ?1 2

1 2? 5 ?1 2

?

1 5 ?1

?

答案:

,

5 ?1 4

點評:本題考查了等腰三角形的判定、性質,三角形相似的判定和性質,一元二次方程的解 法,二次根式的化簡,構造直角三角形求非特殊角的三角函數值等,涉及知識點較為廣泛, 具有較強的綜合性,難度較大。 (2012 連云港, 3 分) 3, 小明在學習 “銳角三角函數” 中發現, 將如圖所示的矩形紙片 ABCD 沿過點 B 的直線折疊,使點 A 落在 BC 上的點 E 處,還原后,再沿過點 E 的直線折疊,使點 A 落在 BC 上的點 F 處,這樣就可以求出 67.5°的角的正切值是

D

C F

E

A

B

A. 3 +1 B. 2 +1 C. 2.5 D. 5 【解析】注意折疊后兩點對稱,也就是說△ABE 和△AEF 都是等腰三角形。得到 67.5°的角 為∠FAB。 【答案】設 AB=x,則 BE=x,在直角三角形 ABE 中,用勾股定理求出 AE=EF= 2 x,于是 BF= ( 2 +1)x.在直角三角形 ABF 中,tan∠FAB=
BF AB ? ( 2 ? 1) x x

= 2 +1=tan67.5°.選 B。

【點評】根據折疊得到 A、E 關于折痕對稱,從而根據軸對稱的性質得到等腰三角形。求出 兩線段的長。 (2012 山東德州中考,7,3)為了測量被池塘隔開的 A,B 兩點之間的距離,根據實際情況, 作出如下圖形,其中 A B ? B E , E F ? B E ,AF 交 BE 于 D,C 在 BD 上.有四位同學分別 測量出以下四組數據: BC, ACB; ②CD, ACB, ADB; EF, , ; DE, , . ① ∠ ∠ ∠ ③ DE BD ④ DC BC 能 根據所測數據,求出 A,B 間距離的有( ) (A)1 組 (B)2 組 (C)3 組 (D)4 組 A

E D F F 【解析】對于①,可由公式 AB=BC×tan∠ACB 求出 A、B 兩點間的距離;對于②,可設 AB 的長為 x,則 BC=
x tan ∠ A C B tan ∠ A D B DE BD ? DEF∽△DBA,則 ,可求出 AB 的長;對于④無法求得,故有①、②、③三個,故 EF AB

C

B

,BD=

x

,BD-BC=CD,可解出 AB.對于③,易知△

選 C. 【答案】C. 【點評】 此題考查解直角三角形和三角形相似的性質與判定. 在直角三角形中至少要有已知 一邊和一角才能求出其他未知元素;判定兩三角形相似的方法有:AA,SAS,SSS,兩直角三 角形相似的判定還有 HL. (2012 貴州銅仁,22,10 分)如圖,定義:在直角三角形 ABC 中,銳角 ? 的鄰邊與對邊的 角 ? 的鄰邊 AC 比叫做角 ? 的余切,記作 ctan ? , 即 ctan ? = ,根據上述角的余切定 ? 角 ? 的對邊 BC 義,

解下列問題: ? (1)ctan30 =

;
3 4

(2)如圖,已知 tanA=

,其中∠A 為銳角,試求 ctanA

22 題圖

的值. 【分析】 (1)可先設最小邊長為一個特殊數(這樣做是為了計算方便) ,然后在計算出其它 ?。 邊長,根據余切定義進而求出 ctan30 (2)由 tanA=
3

為了計算方便,可以設 BC=3

AC=4 根據余切定義就可以求出 ctanA

4 ,

的值. 【解析】 (1)設 BC=1, ? ∵α =30 ∴AB=2 ∴由勾股定理得:AC= 3 ctan30 =
?

AC BC

= 3
3 4

(2) ∵tanA= ∴設 BC=3 ∴ctanA=
AC BC

AC=4 =
4 3

【點評】 本題考查了銳角三角函數的定義和直角三角形的性質, 銳角三角函數往往和直角三 角形聯系在一起考查。命題時常常和現實中的一些實際問題結合在一起。需要注意的是,在 運用三角函數概念及其關系式時,計算易錯,名稱易混淆;特殊角的三角函數值易混淆,也 容易把一個角與其余角的三角函數值混淆。 (2012 浙江麗水 4 分,16 題)如圖,在直角梯形 ABCD 中, ∠A=90°,∠B=120°,AD= 3 ,AB=6.在底邊 AB 上取點 E, 在射線 DC 上取點 F,使得∠DEF=120°. (1) 當點 E 是 AB 的中點時, 線段 DF 的長度是________; (2)若射線 EF 經過點 C,則 AE 的長是________. 【解析】 :AE= DE=
AD cos ? ADE
1 2

AB=3.在 Rt△ADE 中,tan∠ADE=
? 3 1 2

AE AD

?

3 3

= 3 .所以∠ADE=60°,所以

? 2 3 ,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以 ED=EF.過點 E 作 EG⊥DC 于

G,則 DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2 3 ×

3 2

=6; (2)過 C 作 CH⊥直線 AB 于 E,那么

CH=AD= 3 ,由勾股定理 D 得 BH=1。所以 CD=7。易知△BCE~△EDC,所以 BE:CE=CE:CD, 2 2 2 2 2 所以 CE =CD×DC,設 BE=x,則 CE =7x。在 Rt△CEH 中,由勾股定理得 CE =EH +CH ,得(x+1) 2 +3=7x,解之,得 x=1 或 4。當 x=1 時,AE=5;當 x=4 時,AE=2。故 AE 的長為 5 或 2。 【答案】(1)6; : (2)2 或 5 【點評】 :本題考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知識,應注意知識點的 融會貫通.本題具有一定的難度. (2012 江蘇泰州市,18,3 分)如圖,在邊長相同的小正方形組成的網格中,點 A、B、C、D

都在這些小正方形的頂點上,AB、CD 相交于點 P,則 tan∠APD 的值是



【解析】 要求 tan∠APD 的值,只要將∠APD 放在直角三角形中,故過 B 作 CD 的垂線,然 后利用勾股定理計算出線段的長度,最后利用正切的定義計算出結果即可. 【答案】作 BM⊥CD,DN⊥AB 垂足分別為 M、N,則 BM=DM=
2 2
10

,易得:DN=

10 10

,設 PM=x,

則 PD=

2 2

-x,由△DNP∽△BMP,得:

PN PM

?

DN BM

,即

PN x

5 x,由 ? 1 0 ,∴PN= 5 2
2

DN +PN =PD , 得 :
2

2

2

2

1 10

+

1 5

x =(

2

2 2

-x) , 解 得 : x1=

2

2 4

, x2=

2 ( 舍 去 ) ∴ tan ∠ ,

APD=

BM PM

?

2 =2. 2 4

【點評】選擇合適的格點直角三角形是計算線段長、銳角三角函數值的基礎,還要注意網格 中線段的長度都可以在直角三角形中去解決. (2012 福州,9,4 分)如圖,從熱氣球 C 處測得地面 A、B 兩點的俯角分別為 30°、45°, 如果此時熱氣球 C 處的高度 CD 為 100 米, A、 B 在同一直線上, AB 兩點的距離是 點 D、 則 ( ) A.200 米 B. 2 0 0 3 米 C. 2 2 0 3 米 D. 1 0 0 ( 3 ? 1) 米

解析:由題意,∠A=30°,∠B=45°,則 tan A ? AB=AD+DB=
CD tan A ? CD tan B ? 100 tan 3 0
0

CD AD

, tan B ?

CD DB

,又 CD=100,因此

?

100 tan 4 5
0

? 100 3 ? 100 。

答案:D 點評:本題考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函數值,考察了用三角函數模型解決實 際問題的能力,難度中等。 (2012 福州,15,4 分)如圖,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分線 BD 交 AC 于點 D,則 AD 的長是 ,cosA 的值是 .(結果保留根號)

解析:由已知條件,可知△BDC、△ADB 是等腰三角形,且 DA=DB=BC,可證△BDC∽△ABC, 則有
x1 ?
BC AC ? DC BC

,設 BC=x,則 DC=1-x,因此
? 5 ?1 2

x 1

?

1? x x

, 即 x ? x ? 1 ? 0 ,解方程得,
2

5 ?1 2

, x2 ?

(不合題意,舍去),即 AD=
5 ?1 4

5 ?1 2

;

AB

又 cosA= 2 ?
AD
5 ?1 2

1 2? 5 ?1 2

?

1 5 ?1

?

答案:

,

5 ?1 4

點評:本題考查了等腰三角形的判定、性質,三角形相似的判定和性質,一元二次方程的解 法,二次根式的化簡,構造直角三角形求非特殊角的三角函數值等,涉及知識點較為廣泛, 具有較強的綜合性,難度較大。 (2011 山東省濰坊市,題號 9,分值 3)輪船從 B 處以每小時海里的速度沿男偏東 30°方 向勻速航行,在 B 處觀測燈塔 A 位于南偏東 75°方向上,輪船航行半小時到達 C 處,在觀 測燈塔 A 北偏東 60°方向上,則 C 處與燈塔 A 的距離是( )海里 A.
25 3

B. 25

2 C.

50

D.25

考點:方位角和等腰三角形的判定 解答:根據路程=速度時間得 BC=50×0.5=25 海里; 根據方位角知識得,∠BCD=30°,=75°-30°; CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°; ∠A=∠CBD=45°所以 CA=CB 所以 CB=25 海里,本題正確答案是 D 點評:本題考查了方位角和等腰三角形的判定的有關知識。在解決方位角問題時,利用平行 線的有關知識得到角度的關系,從而得到線段的關系是解決問題的常用方法和思路。 (2012 湖北襄陽,10,3 分)在一次數學活動中,李明利用一根拴有小錘的細線和一個半 圓形量角器制作了一個測角儀,去測量學校內一座假山的高度 CD.如圖 5,已知李明距假山 的水平距離 BD 為 12m,他的眼睛距地面的高度為 1.6m,李明的視線經過量角器零刻度線 OA 和假山的最高點 C,此時,鉛垂線 OE 經過量角器的 60°刻度線,則假山的高度為 A.(4 C.(4
3
2

+1.6)m +1.6)m

B.(12 D.4
3

3

+1.6)m

m

C

A O E D 圖5 【解析】如下圖,過點 A 作 AF⊥CD 于 F,則 AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由 OE∥CF 可 知∠C=∠AOE=60°.所以,在 Rt△ACF 中,CF= +1.6)m. C
AF ta n 6 0 ?

B

=4

3

,那么 CD=CF+FD=(4

3

AO E F B D 【答案】A 【點評】 通過作高將問題轉化為解直角三角形問題是解答關鍵, 其間需要具有良好的閱讀理 解能力,能將對應線段和角之間的關系理清. (2012 浙江麗水 4 分,16 題)如圖,在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=120°,AD= 3 , AB=6.在底邊 AB 上取點 E,在射線 DC 上取點 F,使得∠DEF=120°. (1)當點 E 是 AB 的中點時,線段 DF 的長度是________; (2)若射線 EF 經過點 C,則 AE 的長是________. 【解析】 :AE= DE=
AD cos ? ADE
1 2

AB=3.在 Rt△ADE 中,tan∠ADE=
? 3 1 2

AE AD

?

3 3

= 3 .所以∠ADE=60°,所以

? 2 3 ,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以 ED=EF.過點 E 作 EG⊥DC 于

G,則 DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2 3 ×

3 2

=6; (2)

【答案】(1)6; : (2)2 或 5 【點評】 :本題考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知識,應注意知識點的 融會貫通.本題具有一定的難度. (2012 安徽,19,10 分)如圖,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,求 AB 的長,

C

30° A

45° B

第 19 題圖

解析:本題在一個三角形中已知兩個角和一邊,求三角形的邊.不是直角三角形,要利用三 角函數必須構筑直角三角形,過點 C 作 CD⊥AB 于 D,利用構造的兩個直角三角形來解答.

解:過點 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ACD 中,∠A=30°,AC= 2 3 ∴CD=AC×sinA= 2 3 ×0.5= 3 , AD=AC×cosA= 2 3 ×
3 2

=3,

在 Rt△BCD 中,∠B=45°,則 BD=CD= 3 , ∴AB=AD+BD=3+ 3 點評:解直角三角形中,除了直角外,還知道兩個元素(至少有一個是邊),就能求出其余 的邊和角. 一般三角形中,知道三個元素(至少有一個是邊),就能求出其余的邊和角. 這 時將三角形轉化為直角三角形時,注意盡量不要破壞所給條件. (2012 湖南婁底,20,7 分)如圖 9,小紅同學用儀器測量一棵大樹 AB 的高度,在 C 處測 得∠ADG?30?,在 E 處測得∠AFG?60?,CE?8 米,儀器高度 CD?1.5 米,求這棵樹 AB 的高度 (結果保留兩位有效數字, 3 ≈1.732).
A

D C

30?

F E

60? B

G

【解析】在 Rt△ADG 中,可設 AG=x,利用已知角的三角函數可用 x 表示出 DG 的長,在 Rt △AFG 中,根據∠AFG 的正切函數可用 x 表示出 FG 的長,因為 DG-FG=DF,所以可列方程求 出 x 的長,AG 再加上儀器的高度即為大樹的高. 【答案】解:設 AG=xm,在 Rt△ADG 中,∠ADG=30°,∴DG= 3 AG= 3 xm; 在 Rt△AED 中,∠AFG=60°,AG=x,FG=
3 3

x,∵DG-FG=DF,DF=CE=8 ∴ 3 x-

3 3

x=8,解得

x=4 3 ≈6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4. 答:大樹 AB 的高約為 8.4 米. 【點評】本題考查直角三角形的解法,首先構造直角三角形,再借助角邊關系、三角函數的 定義解題. (2012 重慶,20,6 分)已知:如圖,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,點 D 在 BC 邊上,且△ ABD 是等邊三角形。若 AB=2,求△ABC 的周長。(結果保留根號)

解析: 由△ABC 是直角三角形和△ABD 是等邊三角形, 可求出∠C=30°,利用三角函數可求出 答案。 答案:解:∵△ABD 是等邊三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=
AB BC

∴BC=

AB sin C

=4, ∵cosC=

AC BC

∴AC=BC·cosC=2 3

∴△ABC 的周長是 6+2 3

點評:在直角三角形中計算線段長度問題,通常利用勾股定理和三角函數來解決,本題也可 由勾股定理來計算 AC 的長。 (2012 浙江省溫州市,21,9 分)某海濱浴場東西走向的 海岸線可近似看作直線 l (如圖) 。救生員甲在 A 處的瞭望 臺上觀察海面情況, 發現其正北方向的 B 處有人發出求救信 號。他立即沿 AB 方向徑直前往救援,同時通知正在海岸線 上巡邏的救生員乙。乙馬上人 C 處入海,徑直向 B 處游去。 甲在乙入海 10 秒后趕到海岸線上的 D 處,再向 B 處游去。 若 CD=40 米,B 在 C 的北偏東 35 方向,甲、乙的游泳速度 都是 2 米/秒。問誰先到達 B 處?請說明理由。 (參考數據:
sin 55 ? 0.82, cos 55 ? 0.57, tan 55 ? 1.43 )
? ? ?
?

【解析】根據特殊角的三角函數值,利用直角三角形的邊角關系,利用直角三角形的邊 CD 建 立等式. 【答案】解:由題意得∠BCD=55°,∠BDC=90°, ∴ tan ? B C D ?
BD CD

,
?

∴ B D ? C D ? tan ? B C D = 40 ? tan 55 ? 57.2 (米) ∴ BC ? ∴ t甲
? 7 0 .2 (米) ? co s ? B C D co s5 5 7 0 .2 5 7 .2 ? 3 5 .1( 秒 ) ? ? 1 0 ? 3 8 .6 ( 秒 ), t 乙 ? 2 2 = CD 40

∴ t 甲 ? t 乙 .答:乙先到達 B 處. 【點評】本題考查了利用三角函數值解決實際問題.重點考查學生是否認真審題,挖掘出題 目中的隱含條件,運用數學知識解決實際問題的能力,難度一般. (2011 山東省濰坊市,題號 20,分值 10)校車安全是近幾 年社會關注的重大問題,安全隱患主要是超載和超速.某中 學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的 實驗:先在公路旁邊選取一點 C,再在筆直的車道 l 上確定 點 D,使 CD 與 l 垂直,測得 CD 的長等于 21 米,在 l 上點 D 的同側取點 A、B,使∠CAD=30°,∠CBD =60° (1)求 AB 的長(精確到 0.1 米,參考數據: 3 ? 1 . 73 , 2 ? 1 . 41 ) ; (2)已知本路段對校車限速為 40 千米/小時,若測得某輛校車從 A 到 B 用時 2 秒,這輛校車 是否超速?說明理由.

考點:直角三角形的邊角關系 解答: (1)由題意得 ,在 RT△ADC 中, AD=
CD tan 30 ? ? 21 3 3 ? 21 3 ? 36 . 33 ,

在 RT△BDC 中, BD ?

CD tan 60 ?

?

21 3

? 7 3 ? 12 . 11

所以 AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米) (2)汽車從 A 到 B 用時 2 秒,所以速度為 24.2÷2=12.1(米/秒) 因為 12.1×3600=43560, 所以該車速度為 43.56 千米/小時 大于 40 千米/小時,所以此校車在 AB 段超速. 點評:本題考察了直角三角形的邊角關系,已知一邊和一銳角解直角三角形。在解決此類問 題時,要找到所解的直角三角形,分析其中已知的邊和角,分析類型,選擇方法求解。 (湖南株洲市 3,13)數學實踐探究課中,老師布置同學們測量學校旗 桿的高度。小民所在的學習小組在距離旗桿底部 10 米的地方,用測角 儀測得旗桿頂端的仰角為 60°,則旗桿的高度是 米。

【解析】設旗桿的高度為 x 米,由題意,得 tan 6 0 ? ? x= 1 0 3

x 10

,解之得:

【答案】 1 0 3 【點評】在直角三角形,已知一角與一個角可以利用直角三角形的邊角關系來求線段的長. (2012 四川攀枝花,19,6 分)如圖 6,我漁政 310 船在南海 海面上沿正東方向勻速航行,在 A 地觀測到我漁船 C 在東北方 向上的我國某傳統漁場.若漁政 310 船航向不變,航行半小時 后到達 B 處,此時觀測到我漁船 C 在北偏東 30°方向上.問漁 政 310 船再航行多久,離我漁船 C 的距離最近?(假設我漁船 C 捕魚時移動距離忽略不計,結果不取近似值. ) 【解析】解直角三角形的應用-方向角問題. 【答案】 CD⊥AB 于 D, BD=x, 作 設 ∵∠BCD=30°, CD= 3 x, ∴ 因為∠CAD=45°, AD=CD= 3 x, = 3 x–x, ∴ AB 依據題意, 3 x

–x=0.5,x=

3 ?1 4

,答:再航行

3 ?1 4

小時,離漁船 C 的距離最近。

【點評】利用勾股定理或三角函數都可很順利的解出結果。此題的關鍵是用小時來表示 AB 間的距離。 (2012 江西,22,9 分)小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖 1.如圖 2 是曬衣架的側面 示意圖, 立桿 AB、 相交于點 O, B、 兩點立于地面, CD D 經測量: AB=CD=136cm, =OC=51cm, OA OE=OF=34cm,現將曬衣架完全穩固張開,扣鏈 EF 成一條線段,且 EF=32cm. (1)求證:AC∥BD; (2)求扣鏈 EF 與立桿 AB 的夾角 ? O E F 的度數(精確到 0.1°) ; (3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到 122cm,垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面? 請通過計算說明理由. ? ? 3 (參考數據: s in 6 1 .9? ? 0 .8 8 2 , c o s 6 1 .9 ? 0 .4 7 1, ta n 2 8 .1 ? 0 .5 3,可使用科學計 算器)
C A

O E F

B

D



1

圖2

解析: (1)利用等腰三角形的性質或三角形相似,可得 AC∥BD; (2)過點 O 作 OG⊥EF 交 EF 于 G,構造直角三角形,利用三角函數可求得∠OEF 的度數; (3)利用三角形相似或三角函數可求解。 答案:解: (1)證法一: ∵AB、CD 相交于點 O,∴∠AOC=∠BOD, ∵OA=OC,∴∠ OAC=∠OCA= 同理可證:∠ OBD=∠ODB= ∴∠ OAC=∠OBD, ∴AC∥BD.
1 2
C A

1 2

(180°-∠AOC) ,

(180°-∠BOD) ,

O E M F

證法二: ∵AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm, ∴OB=OD=85 cm,
OA OB ? OC OD ? 3 5

;

又∵∠AOC=∠BOD, ∴ △AOC∽△BOD,∴∠ OAC=∠OBD, ∴AC∥BD. (2)在△OEF 中,OE=OF=34cm ,EF =32cm; 作 OM⊥EF 于點 M,則 EM=16cm; ∴ co s ? O E F ?
EM OE ? 16 34 ? 0 .4 7 1 ,

用科學計算器求得∠OEF=61.9°; (3)解法一:小紅的連衣裙曬衣架后會拖落到地面. 在 Rt△OEM 中,∴ O M ? O E ? E M ? 34 ? 16 ? 30 cm; 同(1)可證: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF, 過點 A 作 AH⊥BD 于點 H,則 Rt△OEM∽Rt△ABH,
2 2 2 2



OE AB

?

OM AH

, AH ?

OM ? AB OE

?

30 ? 136 34

? 1 2 0 cm .

∴小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長度 122cm>曬衣架高度 AH=120cm. 解法二:小紅的連衣裙曬衣架后會拖落到地面. 同(1)可證: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF=61.9°, 過點 A 作 AH⊥BD 于點 H,在 Rt△ABH 中, ∵ sin ? A B D ?
AH

,

AB ∴ A H ? A B ? sin ? A B D ? 136 ? sin 61.9 ? ? 136 ? 0.882 ? 120.0 cm;

∴小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長度 122cm>曬衣架高度 AH=120cm. 點評:這是一道幾何應用題,體現了新課標理念:數學來源于生活,并服務于生活。背景情 境的設置具有普遍性和公平性。涉及到知識點有:平行線的判定、等腰三角形的性質或三角 形相似、銳角三角函數等。題目設置由易到難,體現了對數學建模思想的考察,以及由理論 到實踐的原則, 比較全面地考察了學生對幾何基礎知識的掌握情況和對知識的應用能力。 題 目平實、新穎、綜合性強。 (2012 湖北黃石,22,8 分)如圖(9)所示(左圖為實景側視圖,右圖為安裝示意圖) , 在屋頂的斜坡面上安裝太陽能熱水器:先安裝支架 AB 和 CD(均與水平面垂直) ,再將集熱 板安裝在 AD 上.為使集熱板吸熱率更高,公司規定:AD 與水平線夾角為錯誤!未找到引用 源。1,且在水平線上的的射影 AF 為 1.4m.現已測量出屋頂斜面與水平面夾角為錯誤!未 找到引用源。2,并已知 tan 錯誤!未找到引用源。1=1.082,tan 錯誤!未找到引用源。2 =0.412.如果安裝工人已確定支架 AB 高為 25cm,求支架 CD 的高(結果精確到 1cm)?

【解析】 如圖所示, A 作 AE∥BC 交 CD 于點 E, 過 則所求 CD 轉化為 CE+DE, CE=AB=25cm, 而 只要求出 DE,而 DE=DF-EF,分別在 Rt△DAF 與 Rt△EAF 中表示出 DF 與 EF. 【答案】如圖所示,過 A 作 AE∥BC 交 CD 于點 E,則∠EAF=∠CBG=θ 2,

且 EC=AB=25cm ?????????2 分 Rt△DAF 中:∠DAF=θ 1,DF=AFtanθ 1 ???1 分 E Rt△EAF 中:∠EAF=θ 2,EF=AFtanθ 2 ∴DE=DF-EF=AF(tanθ 1-tanθ 2) C θ A GF 又∵AF=140cm, tanθ 1=1.082, tanθ 2=0.412 θ2 B ∴DE=140×(1.082-0.412)=93.8 ∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm 答:支架 DC 的高應為 119cm. 【點評】本題著重考查了解直角三角形的應用,難點在于作出輔助線,將問題轉化到直角三 角形中及線段和差.
D
1

(2012 年四川省德陽市,第 6 題、3 分)某時刻海上點 P 處有一客輪,測得燈塔 A 位于客 輪 P 的北偏東 30°方向,且相距 20 海里.客輪以 60 海里/小時的速度沿北偏西 60°方向航 行
2 3

小時到達 B 處,那么 tan∠ABP= A.
1 2

B.2

C.

5 5

D.

2 5 5

【解析】如圖 6 所示,根據題意可知∠APB=90°.且 AP=20, PB=60× ABP=
PA PB ? 20 40 ? 1 2

2 3

=40. 所以 tan∠

,故選 D.

【答案】D 【點評】本題主要考查了方向角含義,正確記憶三角函數的定義是解決本題的關鍵 (2012 連云港,24,10 分)已知 B 港口位于 A 觀測點北偏東 53.2°方向,且其到 A 觀測點 正北方向的距離 BD 的長為 16km。 一艘貨輪從 B 港口以 40km/h 的速度沿如圖所示的 BC 方向 航行,15min 后到達 C 處,F測得 C 處位于A觀測點北偏東 79.8°方向。求此時貨輪與 A 觀測點之間的距離 AC 的長(精確到 0.1km). (參考數據:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18, tan26.6°≈0.50, 2 ≈1.41, 5 ≈2.24)


D

B



C A觀測點

【解析】過點 B 作 AC 的垂線,把所求線段 AC 換為兩線段的差。利用 Rt△ABH 和 Rt△BCH 求線段 AH、CH 的長,利用 AH-CH 確定 AC 的長。 【答案】BC=40×
15 60

=10.

在 Rt△ADB 中,sin∠DAB= 所以 AB=
D

DB AB

, sin53.2°≈0.8。

DB sin ? D A B



1 .6 0 .8

=20.
B

C A觀測點

H

如圖,過點 B 作 BH⊥AC,交 AC 的延長線于 H。 在 Rt△AHB 中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°―37°=26.6°, tan∠BAH=
BH AH
2

,0.5=

BH AH
2

,AH =2BH.

2 2 2 2 2 2 BH +CH =AB ,BH +(2BH) =20 ,BH=4 5 ,,所以 AH=8 5 ,

在 Rt△AHB 中,BH +CH =BC ,CH= 1 0 ? 8 0 ? 2 5
2

2

所以 AC=AH―CH=8 5 ―2 5 =6 5 ≈13.4k. 【點評】 本題的關鍵是把方位角放到相應的直角三角形中, 找到直角三角形利用三角函數求 出線段的長。 (2012 山東省聊城,22,8 分)周末,小亮一家在東昌湖游玩,媽媽在湖心島 P 處觀看小 亮與爸爸在湖中劃船(如圖) ,小船從 P 處出發,沿北偏東 60°方向劃行 200 米到 A 處,接 著向正南方向劃行一段時間到 B 處.在 B 處小亮觀測媽媽所在的 P 處在北偏西 37°的方向上, 這時小亮與媽媽相距多少米(精確到 1 米)?

解析:題目相當求線段 PB 長,需要把圖形轉化 為解直角三角形來解決,過點 P 作 PC⊥AB 于 C,先解 Rt△APC,求出 PC 長,在解 Rt△PBC 即可求出 PB 長.

解:過點 P 作 PC⊥AB 于 C, 在 Rt△APC 中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°. ∴ PC= 200×sin60°=200 × ∵在 Rt△PBC 中,sin37°= ∴PB=
PC sin 37 ? ? 100 ? 1 . 732 0 . 60

3 2

=100 3 m.

PC PB

,

? 289(m)

答:小亮與媽媽相距約 289 米. (2012 山東泰安,13,3 分)如圖,為測量某物體 AB 的高度,在 D 點測得 A 點的仰角為 30 ?, 朝物體 AB 方向前進 20 米到達點 C, 再次測得 A 點的仰角為 60?, 則物體的高度為 ( )

A.10 3 米

B.10 米

C.20 3 米

D.

20 3 3

【解析】設 AB 高為 x 米,在 Rt△ABD 中,∠D=30?,所以 BD= 3 AB= 3 x,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=60?,所以 BC=
3 3

AB=

3 3

x,因為 BD-BC=CD,所以 3 x-

3 3

x=20,解得 x=10 3 ,

即物體的高為 10 3 米. 【答案】A. 【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用,分別在兩個直角三角形中,設出未知數,由 銳角三角函數把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線段表示出來, 然后構建方程, 解方 程即可求出未知線段的長. (2012 四川成都,17,8 分)如圖,在一次測量活動中,小華站在離旗桿底部(B 處)6 米的 D 處,仰望旗桿頂端 A,測得仰角為 60°,眼睛離地面的距離 ED 為 1.5 米.試幫助小華求 出旗桿 AB 的高度.(結果精確到 0.1 米, 3 ? 1 .7 3 2 )

解析: 由題意可知, 四邊形 BCED 是矩形, 所以 BC=DE, 然后在 Rt△ACE 中, 根據 tan∠AEC= 可求出 AC 的長。 答案:由題意可知,四邊形 BCED 是平行四邊形,

AC EC

,

所以 CE=BD=6 米,CB=ED=1.5 米 在 Rt△ACE 中,tan∠AEC= 即 tan60°=
AC 6

AC EC

∴AC= 3 ×6 ? 1 .7 3 2 ? 6 ? 1 0 .4 (米) ∴AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9(米) 點評:解直角三角形問題時,要選準三角函數并加以應用,是解題的關鍵。 (2012 貴州貴陽,19,10 分)小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹夏季洪峰匯成巨瀑時的落 差.如圖,他利用測角儀站在 C 點處測得∠ACB=68°,再沿 BC 方向走 80m 到達 D 處,測得∠ ADC=34°,求落差 AB.(測角儀高度忽略不計,結果精確到 1m,可以使用計算器)

A

D

C

B

解析: 由已知可得△ACD 是等腰三角形, 19 題圖 故得 AC=CD=80,在 Rt△ACB 中解直角三角形可 第 求 AB. 解:∵∠ACB=68°, ∠D=34°, ∴∠CAD=68°-34°=34°, ∴∠ CAD=∠D, ∴AC=CD=80. 在 Rt△ABC 中,AB=AC×sin68°=80×sin68°=74, ∴瀑布的落差約為 74m. 點評:解直角三角形在實際生活中的應用是中考熱點之一,解題時,首先是根據題意畫 出圖形(已經畫圖的則需要弄懂圖形所表示的實際意義) ,解直角三角形時就結合圖形分清 圖形中哪個是直角三角形,已知銳角的對邊、鄰邊和斜邊.此外還應正確理解俯角、仰角等 名詞術語. (2012 浙江麗水,19,6 分)學校校園內有一小山坡,經測量,坡角∠ABC=30°,斜坡 AB 長為 12 米.為方便學生行走,決定開挖小山坡,使斜坡 BD 的坡比是 1:3(即為 CD 與 BC 的 長度之比) ,A,D 兩點處于同一鉛垂線上,求開挖后小山坡下降的高度 AD.

【解析】 :因為 AD=AC-CD,故欲求 AD,只需先求 AC、CD.為止可先解直角△ABC,求出 BC, 再根據坡比即可求出 CD. 【解】 :在 Rt△ABC 中,∠ABC=30°, ∴AC=
1 2

AB=6,BC=ABcos∠ABC=12×
1 3

3 2

=6 3 .

∵斜坡 BD 的坡比是 1:3,∴CD= ∴AD=AC-CD=6-2 3 .

BC=2 3 ,

答:開挖后小山坡下降的高度 AD 為(6-2 3 )米. 【點評】 :把應用問題轉化為直角三角形問題,再運用直角三角形的關系進行求解.利用銳 角三角函數解決實際問題中的易錯點有三處, 一是銳角三角函數關系式的選擇, 二是特殊 角的三角函數值的識記, 三是計算是否正確. (2012 湖北隨州,20,9 分)在一次暑假旅游中,小亮在仙島湖的游船上(A 處) ,測得湖西 岸的山峰太婆尖 (C 處) 和湖東岸的山峰老君嶺 (D 處)的仰角都是 45°,游船向東航行 100 米后(B 處) ,測得太婆尖、老君嶺的高度為多少米?( 3 ? 1 .7 3 2 ,結果精確到米) 。

解析:設太婆尖高 h1 米,老君嶺高 h2 米?煞謩e在直角三角形中利用正切值表示出水平線 段的長度,再利用移動距離為 AB=100 米,可建立關于 h1、h2 的方程組,解這個方程組求得 兩山峰高度。 D(老君嶺) 答案:設太婆尖高 h1 米,老君嶺高 h2 米,依題意,有
h1 ? h1 ? ? 100 ? ? tan 30 ? tan 45 ? ? ? h2 ? h2 ? ? 100 ? ? tan 45 ? tan 60 ?
h1 ? 100 tan 60 ? tan 45
? ?

C(太婆尖)

45 E

o

45

o

30

o

60

o

A
第20題圖

B

F

? 50 ( 3 ? 1) ? 50 (1 . 732 ? 1) ? 136 . 6 ? 137

(米)
h2 ? 100 tan 45 ? tan 30
? ?

?

100 1? 3 3
3 ) ? 50 ( 3 ? 1 . 732 ) ? 236 . 6 ? 237 (米)

? 50

3 ( 3 ? 1) ? 50 ( 3 ?

答:太婆尖高度為 137 米,老君嶺高度為 237 米。 點評:本題考查了直角三角形的解法。解題的關鍵是要首先構造直角三角形,再借助角邊關 系、三角函數的定義解題. (2012 浙江省紹興,19,8 分)如圖 1,某超市從一樓到二樓的電梯 AB 的長為 16.50 米, 按坡角∠BAC 為 32°. (1)求一樓與二樓之間的高度 BC(精確到 0.01 米) ; (2)電梯每級的水平級寬均是 0.25 米,如圖 2.小明跨上電梯時,該電梯以每少上升 2 級 的高度運行,10 秒后他上升了多少米(精確到 0.01 米)? 備用數據:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480,tan32°=0.6249.

【解析】 (1)在 Rt△ABC 中,已知 ∠BAC=32°,斜邊 AB 的長為 16.50 米,根據銳角三角函數的定義即可求得一樓與二樓之間的高度 BC. (2)先計 算 1 級電梯的高,再根據 10 秒鐘電梯上升了 20 級可計算 10 秒后他上升的高度. 【答案】解: (1)∵sin∠BAC=
BC AB

,∴BC=AB×sin32°

=16.50×0.5299≈8.74 米. (2)∵tan32°= 級高級寬 , ∴級高=級寬×tan32°=0.25×0.6249=0.156225, ∵10 秒鐘電梯上升了 20 級,∴小明上升的高度為:20×0.156225 米. 【點評】正確地構造出直角三角形,然后根據直角三角形的性質求解,是解決此題的關鍵. (2012 四川省資陽市,20,8 分)小強在教學樓的點 P 處觀察對面的辦公大樓.為了測量 點 P 到對面辦公大樓上部 AD 的距離,小強測得辦公大樓頂部點 A 的仰角為 45°,測得辦公 大樓底部點 B 的俯角為 60°,已知辦公大樓高 46 米,CD=10 米.求點 P 到 AD 的距離(用 含根號的式子表示) .
A

A

P C

M D

P

N C

M D

B

B

(第 20 題圖) 【解析】 連結 PA、PB,過點 P 作 PM⊥AD 于點 M;延長 BC,交 PM 于點 N 則∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10 米???????????1 分 設 PM= x 米 在 Rt△PMA 中,AM=PM×tan∠APM= x tan45°= x (米)??3 分 在 Rt△PNB 中,BN=PN×tan∠BPM=( x -10)tan60°=( x -10) 3 (米)???5 分[來@源:中國#教育︿%出版~網] 由 AM+BN=46 米,得 x +( x -10) 3 =46?????????6 分 解得, x ?
46 ? 10 3 1? 3 46 ? 10 3 1? 3

, 米. (結果分母有理化為 1 8 3 ? 8 米也可) ???

∴點 P 到 AD 的距離為 8分 【答案】
46 ? 10 3 1? 3

?

?

(結果分母有理化為 1 8 3 ? 8 米也可)

?

?

【點評】 本題綜合考查了直角三角形中的三角函數、 特殊角的三角函數值及構造出的方程思

想.解決本題的關鍵是作垂線構造出直角三角形從而再運用三角函數解題.難度中等. (2012 江蘇泰州市,24,本題滿分 10 分)如圖,一居民樓底部 B 與山腳 P 位于同一水平線 上,小李在 P 處測得居民樓頂 A 的仰角為 60°,然后他從 P 處沿坡角為 45°的山坡上走到 C 處,這時,PC=30m,點 C 與點 A 在同一水平線上,A、B、P、C 在同一平面內. (1)求居民樓 AB 的高度; (2)求 C、A 之間的距離. (精確到 0.1m,參考數據: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45)

A

C

60° 45°

B (第 24 題圖) P
【解析】過 C 作 BP 的垂線,垂足為 G,利用特殊 Rt△PCG 和 Rt△ABP 中的邊角關系,我們 容易計算出 CG(即 AB)的長,最后用 AC=BP+PG,就是 C、A 之間的距離. 【答案】 (1)過 C 作 BP 的垂線,垂足為 G,在 Rt△PCG 中,CG=PCsin45 =30× 所以 AB=15 2 =21.2(m) ( 2 ) PG= PCcos45 =30 ×
0 0

2 2

=15 2 ,

2 2

=15

2 , BP=

15 2 3

? 5 6 ,所以 C、A 之間的距離

=BP+PG=15 2 +5 6 =33.5(m) 【點評】 解直角三角形是每年中考的必考知識點之一, 主要考查直角三角形的邊角關系及其 應用,難度一般不會很大,本題是基本概念的綜合題,主要考查考生應用知識解決問題的能 力,很容易上手,容易出錯的地方是近似值的取舍.


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