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23.2_直接開平方法因式分解法_圖文

1.會用直接開平方法解形如 ( x ? a) ? b(b ? 0) 的方程. 2.靈活運用因式分解法解一元二次方程. 3.了解轉化、降次思想在解方程中的運用。 合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練 地解一元二次方程。

2

1.如果

2 x 2.如果 ? a(a ? 0) , 則 x = ? a

x ? a(a ? 0) ,則 x 就叫做a 的
2
2

平方根

。

3.如果x

? 64 ,則x = ?8

。

。

4.把下列各式分解因式:

1). χ2-3χ

χ(χ-3)

4 4 2). x ? x ? 3 9
2

2 2 (x ? ) 3
(2χ-3)(χ+1)

3). 2χ2-χ-3

(1). χ2=4 (2). χ2-1=0

對于方程(1),可以這樣想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= ? 4 χ=±2 根據平方根的定義可知:χ是4的(平方根 ).

這時,我們常用χ1、χ2來表示未知數為χ的一元 二次方程的兩個根。 ∴ 方程 χ2=4的兩個根為 χ1=2,χ2=-2.

利用平方根的定義直接開平方求一元二 次方程的解的方法叫直接開平方法。

1、利用直接開平方法解下列方程:

(2). χ2-900=0 2=900 χ 2 解: (1) χ =25 χ=±30 χ=±5 ∴ χ1=5,χ2=-5 ∴χ1=30 χ2=-30 (1). χ2=25
2、利用直接開平方法解下列方程:

(1)(χ+1)2-4=0
(2) 12(2-χ)2-9=0

(1)(χ+1)2-4=0 (χ+1)2=4 以變形為:

(2) 12(2-χ)2-9=0

分析:我們可以先把(χ+1)看作一個整體,原方程便可
現在再運用直接開平方的方法可求得χ的值。

解:

(χ+1)2=4 (1) 移項,得
∴ ∴ χ+1=±2 χ1=1,χ2=-3.

1.直接開平方法的理論根據是

平方根的定義

2.用直接開平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 (χ-a)2=b(b≥0)類的一元二次方程。

3.方程χ2=a(a≥0)的解為:χ=

? a

方程(χ-a)2=b(b≥0)的解為:χ=

a? b

小結中的兩類方程為什么要加條件:a≥0,b≥0呢?

對于方程(2) χ2-1=0 ,你可以怎樣解它?

還有其它的解法嗎?
還可以這樣解: (χ+1)(χ-1)=0 將方程左邊分解因式,得 則必有: χ+1=0,或χ-1=0. 分別解這兩個一元一次方程,得 χ1=-1,χ2=1.

利用因式分解的方法解方程,這種方法 叫做因式分解法。

1、利用因式分解法解下列方程: 1) χ2-3χ=0; 2) 16χ2=25; 3)(2χ+3)2-25=0. ∴ χ=0,或χ-3=0, 解得 χ1=0,χ2=3. 2) 方程移項,得16χ2-25=0 方程左邊分解因式,得 (4χ+5)(4χ-5)=0 ∴ 4χ+5=0,或4χ-5=0,

解:1)方程左邊分解因式,得χ(χ-3)=0.

5 解得 χ1=- 4

5 ,χ2= 。 4

采用因式分解法解方程的一般步驟:
(1)將方程右邊的各項移到方程的左邊,使方程右邊為0; (2)將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積形式: (3)令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程:

(4)解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解。

簡記為: 右化零,左分解

用你喜歡的方法解下列方程:
(1)(χ+2)2-16=0; (2) χ2-2χ+1=49; (3)(χ-2)2-χ+2=0 (4)(2χ+1)2-χ2=0

小張和小林一起解方程 χ(3χ+2)-6(3χ+2)=0. 小張將方程左邊分解因式,得 (3χ+2)(χ-6)=0, ∴ 3χ+2=0,或χ-6=0. 方程的兩個解為 χ1=- 2 ,χ2=6. 3 小林的解法是這樣的: 移項,得 χ(3χ+2)=6(3χ+2). 方程兩邊都除以(3χ+2),得 χ=6. 2 小林說:“我的方法多簡單!”可另一個解χ=- 3 哪里去了?小林的解法對嗎?你能解開這個謎嗎?

作業
《學習檢測》解方程 ? 《典中點》12---14
?

當堂做


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